اعداد کوانتومي

 

اطلاعات اوليه

در بررسي ساختار اتم مدلهاي مختلفي ارائه شده است. ابتدايي‌ترين اين مدلها ، مدل سياره‌اي رادرفورد است. بعد از مدل سياره‌اي رادرفورد ، نيلز بوهر مدل جديدي را ارائه داد (مدل اتمي بوهر). اين مدل مي‌‌توانست ساختار طيفي اتم هيدروژن را توضيح دهد. در اصل موضوع بوهر که اساس و مبناي مدل بوهر است، فرض مي‌‌شود که الکترونها مقيدند در مدارهايي حرکت کنند که در آنها اندازه حرکت الکترون مضرب درستي از h/2π باشد که h ثابت پلانک است. همچنين در اين مدل فرض مي‌‌شود که ترازهاي انرژي کوانتيده‌اند. بعدها که ساختار طيف مربوط به عناصر مختلف مورد توجه قرار گرفت، انرژي هر الکترون در اتم با يک سري اعداد که به عنوان اعداد کوانتومي معروف هستند، مشخص مي شود.

 

اعداد کوانتومي اصلي

گفتيم که ترازهاي انرژي در اتم گسسته هستند. اين امر به اين معني است که اگر اتم توسط تابش الکترومغناطيسي بمباران شود، تابش توسط الکترونها جذب مي‌‌شود. لذا الکترونها از ترازهاي اوليه يا پايه خود تحريک شده و به ترازهاي برانگيخته مي‌‌روند، اما چون اين حالت يک حالت ناپايدار است، لذا الکترون با گسيل تابش از تراز برانگيخته به تراز اوليه خود برمي‌‌گردد. مقدار انرژي جذب شده يا گسيل شده متناسب با فاصله ترازهاي انرژي است، يعني اگر انرژي تراز اوليه را با E و انرژي تراز برانگيخته را با πE مشخص کنيم، در اين صورت فرکانس نور گسيل شده يا تحريک شده از رابطه E - Eπ = hv حاصل مي‌‌شود.

از طرف ديگر ، چون طبق اصل موضوع بوهر ، اندازه حرکت الکترون بايد مضرب صحيحي از h/2π باشد، بنابراين اگر با تقريب مدار حرکت الکترون به دور هسته را دايره‌اي به شعاع r فرض کنيم، در اين صورت nh/2π خواهد بود که در اين رابطه v سرعت الکترون و m جرم آن است. همچنين با توجه به اين که نيروي وارد شده از طرف هسته بر الکترون نيروي مرکزي است، لذا اگر بار هسته را برابر ze بگيريم که در آن z عدد اتمي است، مقدار نيروي وارد بر الکترون برابر ze2/r2 = mv2/r خواهد بود. از ترکيب اين روابط مي‌‌توان مقدار انرژي الکترون در هر تراز اتمي را بدست آورد.

در اين صورت انرژي از رابطه: E = 1/2mc2/(z?)2 بدست مي‌آيد که در اين رابطه ? مقدار ثابتي است که برابرπ = 1/137 e2/πc بوده و ثابت ساختار ريز ناميده مي‌‌شود. مقدار n که در رابطه انرژي ظاهر شده است، عدد کوانتومي اصلي ناميده مي‌‌شود. البته مي‌‌توان مقدار انرژي الکترون در هر تراز را از حل معادله شرودينگر محاسبه کرد. در اين صورت نيز رابطه انرژي الکترون در هر تراز برحسب يک عدد کوانتومي که به عدد کوانتومي اصلي معروف است، مشخص مي‌‌شود.

 

عدد کوانتومي اندازه حرکت زاويه‌اي مداري

نظريه اتم تک الکتروني بوهر عدد کوانتومي اصلي n را معرفي مي‌‌کند که مقدار درست آن انرژي کل اتم را مشخص مي‌‌کند. عدد کوانتومي n که يک عدد صحيح و مثبت است، بزرگي اندازه حرکت زاويه‌اي الکترون به دور هسته را بر اساس اصل موضوع بوهر ، طبق رابطه L = nπ مشخص مي‌‌کند. π عدد ثابتي است که بصورت نسبت ثابت پلانک بر عدد 2π تعريف مي‌‌شود، اما از ديدگاه مکانيک موجي درست نيست که براي الکترون يک مسير مشخص دايره‌اي يا شکل ديگري را در نظر بگيريم. (اصل عدم قطعيت مانع اين کار است) و نيز از اين ديدگاه قاعده بوهر در مورد کوانتش بزرگي اندازه حرکت زاويه‌اي درست نيست.

بر خلاف نظريه کلاسيک ، مکانيک موجي نشان مي‌‌دهد که بزرگي اندازه حرکت زاويه‌اي مداري (L) يک دستگاه اتمي کوانتيده است و مقادير ممکن آن مي‌‌تواند از رابطه: L = (l(l + 1))1/2π بدست آيد. در اين رابطه l عدد صحيحي است که عدد کوانتومي ‌اندازه حرکت زاويه‌اي مداري ناميده مي‌‌شود. براي مقدار مفروض از عدد کوانتومي ‌اصلي n ، مقادير ممکن l ، اعداد درست از صفر تا n - 1 خواهد بود. به عنوان مثال ، اگر n = 2 باشد، در اين صورت L مي‌‌تواند مقادير (1,0) را اختيار کند.

در نمادگذاري ترازها هر مقدار از l با يک حرف مشخص مي‌‌شود. در اين نمادگذاري مقدار l = 0 با حرف S و l = 1 با حرف l = 2 ، P با حرف D و ... مشخص مي‌‌شود. چون انرژي فقط برحسب عدد کوانتومي ‌اصلي مشخص مي‌‌شود، بنابراين در مورد تک الکتروني که تحت تأثير يک نيروي کولني از جانب هسته است و در تراز n = 3 قرار دارد، هر سه حالت l = 0 , 1 , 2 داراي انرژي يکساني خواهند بود.

 

 

اعداد کوانتومي ‌مغناطيسي مداري

گفتيم که الکترون در اثر نيرويي که از طرف هسته بر آن وارد مي‌‌شود، حول هسته مي‌‌چرخد. چون الکترون يک ذره باردار است، بنابراين مدار الکترون را مي‌‌توان يک مدار مغناطيسي در نظر گرفت. براي اين مدار مغناطيسي و در واقع براي الکترون مي‌‌توان يک گشتاور دو قطبي مغناطيسي تعريف نمود. اين کميت بر اساس اندازه حرکت زاويه‌اي مداري الکترون تعريف مي‌‌شود. يعني از رابطه π = eL/2m حاصل مي‌‌شود که در آن π گشتاور دو قطبي مغناطيسي است.

حال اگر يک ميدان مغناطيسي خارجي اعمال شود، در اين صورت ميدان سعي مي‌‌کند تا گشتاور دو قطبي مغناطيسي و به تبع آن L را در راستاي ميدان قرار دهد، اما در مکانيک موجي بردار اندازه حرکت زاويه‌اي مداري L نمي‌‌تواند هر جهتي را نسبت به ميدان مغناطيسي اختيار کند، بلکه محدود به جهتهاي به خصوصي است که براي آن مؤلفه بردار اندازه حرکت زاويه مداري ، در راستاي ميدان مغناطيسي ، مضرب دستي از π باشد. بنابراين اگر جهت ميدان مغناطيسي را در راستاي محور z اختيار کنيم، در اين صورت مؤلفه z بردار L از رابطه Lz = ml π حاصل مي‌‌شود. در اين رابطه ml عدد کوانتومي ‌مغناطيسي مداري است. به ازاي يک مقدار مفروض l ، m_l مي‌‌تواند مقادير زير را اختيار کند:

ml = l , l - 1 , l - 2 , … , 0 , … , - l

 

 

عدد کوانتومي ‌مغناطيسي اسپيني

در نظريه کوانتومي ‌سه ثابت فيزيک کلاسيک مربوط به حرکت ذره‌اي که تحت تأثير جاذبه عکس مجذوري قرار دارد، کوانتيده‌اند. اين سه ثابت عبارتند از: انرژي ، بزرگي اندازه حرکت زاويه‌اي مداري ، مؤلفه اندازه حرکت زاويه‌اي مداري در يک جهت ثابت از فضا. در مکانيک کوانتومي ‌به اين ثابتهاي حرکت اعداد کوانتومي n و l و ml نسبت داده مي‌‌شوند، اما علاوه بر اين سه عدد کوانتومي ، عدد کوانتومي ‌ديگري به نام عدد کوانتومي ‌اسپيني که به مفهوم اسپين الکترون مربوط است، معرفي مي‌‌شود.
در سال 1925/1304 گود اسميت و اوهلن يک اظهار داشتند که يک اندازه حرکت زاويه‌اي ذاتي ، کاملا مستقل از اندازه حرکت زاويه‌اي مداري ، به هر الکترون وابسته است. اين اندازه حرکت ذاتي ، اسپين الکترون ناميده مي‌‌شود. چون مي‌‌توان آن را با اندازه حرکت ذاتي که هر جسم گسترده بر اساس دوران يا اسپين حول مرکز جرم خود دارد، مانسته داشت. البته لازم به توضيح است که در مکانيک موجي تلقي الکترون به عنوان يک کره ساده با بار الکتريکي صحيح نيست، بلکه صرفا به خاطر مشخص کردن اندازه حرکت زاويه‌اي اسپيني الکترون به کمک مدل قابل تجسم ، بهتر است که آن را به عنوان جسمي که در فضا داراي گسترش است و بطور پيوسته حول يک محور به دور خود مي‌‌چرخد، فرض کنيم.

مانند اندازه حرکت زاويه‌اي مداري در اينجا نيز مي‌‌توانيم يک گشتاور مغناطيسي مربوط به حرکت اسپيني الکترون در نظر بگيريم. چنانچه يک الکترون ، با گشتاور مغناطيسي دائمي خود ، در يک ميدان مغناطيسي قرار گيرد، انتظار مي‌‌رود که اسپين آن کوانتيده فضايي باشد، يعني گشتاور مغناطيسي اسپيني و اندازه حرکت زاويه‌اي اسپيني به سمت گيري‌هاي خاصي محدود خواهند بود.

بنابراين اگر ميدان مغناطيسي در راستاي محور z فرض شود، در اين صورت مؤلفه اندازه حرکت زاويه‌اي اسپيني Lsz در جهت اين ميدان از رابطه Lsz = msπ حاصل خواهد شد. در اين رابطه ms عدد کوانتومي ‌مغناطيسي اسپيني ناميده مي‌‌شود. از آنجا که الکترون از دسته فرميونها مي‌‌باشد، بنابراين داراي اسپين نيم فرد خواهد بود، لذا عدد کوانتومي ms فقط مي‌‌تواند دو مقدار ممکن 2/1+ و 2/1- را اختيار کند.